С момента открытия закона аномального распределения чисел Нькомба (1881) все серьезные обобщения этого закона были сделаны лишь более чем 100 лет спустя — в 90-х годах ХХ века. В течение последних 70 лет в мире было опубликовано около 200 научных работ, посвященных этому закону. Самое значительное обобщение данного закона сделал в 1994 году Бойль. Он показал, что последовательность чисел в человеческой жизнедеятельности подчиняются закону Бенфорда, если эти числа получены из различных источников путем умножения, деления и возведения в целую степень. Практическое применение закона аномального распределения чисел непосредственно связано с исследованиями американского математика Нигрини.

Применение закона Бенфорда и некоторых следствий из него в области проверки финансовой отчетности на момент фальсификации пришлось на последние годы ХХ века. Благодаря работам Нигрини был совершен прорыв в аудите, а метод использования ряда тестов, родственных закону аномального распределения получил название Digital Analysis. Из крупных мировых аудиторских фирм новый метод быстрее всего освоила и ввела в свою деловую практику компания «Эрнст и Янг». Постепенно этот метод стал приобретать все большую и большую популярность. В настоящее время на слуху известно около 10 тестов Digital Analysis, являющихся следствиями из закона Бенфорда, которыми пользуются для выявления фальсификации в большом объеме данных. Приведу шесть наиболее распространенных из них.

1. Анализ частоты первой цифры. Суть этого метода состоит в непосредственном прямом применении закона Бенфорда. При наличии существенных «выбросов» в сравнении с эталонной последовательностью проводится специальное расследование, которое должно прояснить природу выявленных отклонений.

2. Анализ частоты первой и второй цифры. Суть этого метода в анализе частоты цифры от 1 до 9 на первой позиции и отдельно от этого частоты цифр 0 до 9 на второй позиции числа. Составляется таблица соответствий для эталонной последовательности, потом она анализируется на отклонение частоты цифр исследуемой последовательности от распределения для классической последовательности, удовлетворяющей требованиям Бенфорда. При наличии существенных «выбросов» в сравнении с эталонной последовательностью проводится специальное расследование, которое должно прояснить природу выявленных отклонений.

3. Анализ дублей. Суть этого теста не имеет прямого отношения к закону Бенфорда, однако, использует его методологию. Этот тест направлен на выявление частоты числовых повторов в большом количестве документации. Сначала выбираются все повторяющие числа в исследуемой последовательности данных, потом они сортируются по частоте повторов, потом проверяются «уплотнения» повторов ряда чисел. Когда совпадение числа повторов ряда чисел значительно, проводится специальное расследование на предмет выявления сомнительных дубликатов. Этот метод позволяет обнаружить случаи аномального повторения в наборе данных ряда значений. Данный
метод используют для налоговых проверок, при внутренних расследованиях и внешнем аудите.
4. Анализ первой пары цифр. Этот метод является усовершенствованным тестом 2 и исследует частоту появления цифр от 10 до 99 в начале чисел. Наиболее удобно графическое использование этого метода для поиска отклонений частоты цифр от эталонного распределения. Этот метод дает хорошие результаты, когда тест 1 и 2 дают сбои и связан с выявлением «уплотнений» некоторых чисел возле значимых значений. Например, если на фирме существует специальный контроль и обоснование трат выше какого-то уровня, например выше 30000 рублей, то уплотнение первой пары в районе 27, 28 и 29 на фоне существенных отклонений в большую сторону от пар 24, 25, 30 и 31 может свидетельствовать об искусственности формирования последовательности
чисел человеком. В описанном примере специальная сумма в 30000 рублей искажает классическое распределение Бенфорда и делает неэффективным применение тестов 1 и 2, однако тест 4 вылавливает неадекватные отклонения и в этом случае.

5. Анализ первой тройки цифр. Суть этого метода в более точной настройке на проверку частот первой тройки» цифр — от 100 до 999 в изучаемой числовой последовательности. Этот метод дает отличные результаты на значительном объеме изучаемой информации – более 10 тысяч значений и является утонченной настройкой и приложением к тестам 1, 2 и 4.

6. Анализ округлений. Этот текст проводят для выявления аномалий в частоте последних значащих цифр исследуемой последовательности чисел. Этот метод позволяет выявить аномальную частоту систематического округления в большую (или меньшую) сторону. Такие округления свойственны такой деятельности – расход горючего, пробег автомобилей, показатели электрических, газовых и водяных счетчиков, стоимости ущербов, стоимости ремонта.

Хочу сразу снизить эйфорию оптимистов, которые тут же кинутся использовать закон аномального распределения чисел в своей практике: закон Ньюкомба-Бенфорда применим далеко не во всех случаях. Поэтому, прежде чем проверять последовательность чисел на применимость этого закона, следует уяснить природу изучаемой последовательности данных. Если изучаемая последовательность получена в результате естественного течения событий (однородные данные человеческой деятельности) или присутствует в природе «сама по себе» (например, свойства химических соединений, выраженных числовой последовательностью или площадь
бассейнов рек), то такая последовательность, скорее всего, будет соответствовать распределению Бенфорда. Такие типы последовательностей принято называть Бенфорд-последовательностями. Комбинация первого и второго случая Бенфорд-последовательностей так же с большой вероятностью будет Бенфорд-последовательностью, но тут возможны некоторые несущественные
отклонения от классического распределения, свойственного идеальной Бенфоррд-последовательности.

Приведу некоторые последовательности, которые удовлетворяет распределению
Бенфорда:
— последовательность номеров домов в адресной книге,

— последовательность сумм в авансовых отчетах,

— последовательность сумм страховых выплат,

— последовательность цифр в налоговых декларациях,

— последовательность номеров платежных поручений от различных покупателей (вся совокупность),
— последовательность сумм платежей от покупателей,

— последовательность сумм списаний (и сумм операционных затрат),

— последовательность остатков товаров на складах,

— последовательность чисел в финансовой документации заемщиков,
— последовательность чисел, соответствующая пролонгациям кредитов (без скрытых дефолтов).
В то же время есть последовательности в жизни человека, которые имеют распределение отличное от Бенфорд-последовательностей. Так, не соответствуют этому распределению
— последовательности ИНН,

— последовательность почтовых индексов,

— последовательность выигрышных номеров в рулетку, лото, лотерею и т.д.,

— последовательности номеров телефонов,

— последовательности номеров автомобилей,

— любые объемы данных, размер которых недостаточен для применения статистических методов (незначительная выборка),

— суммы платежей от покупателей и объемы заказов, в которых содержится несколько позиций исходной номенклатуры. Так, при реализации товаров на сумму 999 за штуку, частота девятки на первом место может опережать 1.

Существует ряд требований для обоснованности применимости закона Бенфорда к исследованию отчетности.

1. Распределение чисел должно удовлетворять условиям геометрического распределения или иметь незначительные отклонения от него (без потери элементов выпуклости графика распределения исследуемой последовательности – чтобы не влезать в математически кущи, на этом я остановлюсь).

2. Исследуемая последовательность чисел должна быть однородной, т.е. относиться к одинаковым объектам. Так например, смешивание цифр в налоговых декларациях, имеющих отношение к налоговой базе плательщиков, с нумерацией их домов может добавить элемента некорректности для применения более продвинутых тестов (отличных от классического первого).

3. В исследуемой последовательности чисел не должно быть ограничений для
чисел по максимуму и минимуму. Если есть некая границ, то такая последовательность чисел может уже не являться идеальной Бенфорд-последовательностью (в то же время это не означает, что для исследования такой последовательности не стоит применять более
продвинутых тестов таких, как 3, 4, 5 и 6).

Приведенные тесты имеют простую программную реализацию и удобны для проверки на соответствие изучаемой последовательности закону аномального распределения чисел, так и на несоответствие. Если мы изучаем однородную последовательность финансовых документов клиентов на предоставление кредитов какого-то многофилиального банка или последовательность сумм страховых выплат крупной страховой компании, то мы с большой степенью вероятности может ожидать бенфордовости представленных данных. Если же при анализе этих последовательностей наблюдаются отклонения от распределения Бенфорда, то мы с большим ожиданием можем предполагать, что эти последовательности были искусственно фальсифицированы человеческим разумом на систематической основе.

Дотошный читатель может меня упрекнуть в том, что я раскрываю потенциальным мошенникам методы их ревизоров, контролеров и аудиторов. Могу успокоить такого читателя: проверка последовательности чисел на бенфордовость имеет линейную сложность, в то время как задача подгонки последовательности под бенфордовость сродни так называемой переборной задачи (задача очень трудоемка и потребует от мошенника универсальной математической классификации). Последнее обстоятельство очень осложняет жизнь фальсификаторов. Таким образом, существует действенный метод борьбы с фальсификаторами, думающих, что их мошенничества легко прятать в большом массиве данных по принципам «курочка по зернышку клюет» и «опавшую листву лучше всего прятать в лесу». Подводя итог своему эссе, хочу отметить, что закон, открытый в 1881 году канадским астрономом Нькомбом не оставляет лазеек для систематической фальсификации финансовой отчетности и не дает мошенникам быть не пойманными. Это обстоятельство необычным образом созвучно с известной фразой Имманула Канта, которой я начинал свое эссе: »есть только две тайны вселенной, которые действительно волнуют меня — звёздное небо над нами и нравственный закон внутри нас».

Литература:
1. Newcomb S. (1881). «Note on the frequency of use of the different
digits in natural numbers». American Journal of Mathematics, No. 4 

2. Benford F. (1938). «The law of anomalous numbers». Proceedings of the
American Philosophical Society, No. 78, p. 551.

3. Boyle J. (1994). «An application of fourier series to the most significant digit problem». American Mathematical Monthly. Vol. 101(9), pp. 879–886.

4. 7. Nigrini M.J. (1999) I’ve Got Your Number.

http://www.journalofaccountancy.com/Issues/1999/May/nigrini.htm

5. Kafri O. (2009). Entropy Principle in Direct Derivation of Benford’s Law.

http://arxiv.org/abs/0901.3047/
6. Kafri O. (2008). Sociological and Economic Inequality and the Second Law. Munich Personal RePEc Archive (MPRA) Paper No. 9175.

http://mpra.ub.uni-muenchen.de/9175/.